Rechnungen zur Warhammer Statistiksammlung

Zitat von tiny

Unsere Ursprüngliche Rechnung für den Erwartungswert war:

Dabei hatten wir die 4 Attacken zusammen behandelt. Präziser wäre gewesen jede Attacke einzeln zu behandeln.

4/6 * 3/6 * (1 - 2/6) * (1 - 3/6) = 4/6 * 3/6 * 4/6 * 3/6 = 144/1296 = 0.1111

Wegen der 4 Attacken unseres Monsters hatten wir im Prinzip 4*0,1111 gerechnet.
Was aber nur die verkürze Schreibweise für die Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten war

EW = 0,1111 + 0,1111 + 0,1111 + 0,1111

Wir verwenden hier eine Addition, da der Erfolg jeder einzelnen Attacke ein unabhängiger Ereignis ist.

Kommen wir aber zurück auf unsere Frage:

In dem Fall interessieren wir uns für eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Und zwar die Wahrscheinlichkeit P(A) dass die Attacke A erfolgreich ist gegeben der Wahrscheinlichkeit P(B) dass die Attacke B ebenso erfolgreich war.

So eine bedingt Wahrscheinlichkeit findet man im Formelbuch unter P(A|B) = P(A und B)/P(B).
Da A und B aber stochastisch unabhänig sind (sind ja immernoch Würfel) gilt: P(A|B) = P(A) * P(B)

Damit kommen wir einer Lösung für unser Problem schonmal deutlich näher!

Die Wahrscheinlichkeit das unser Monster mit 4 Attacken dem Helden 4 Lp nimmt ist also:
0,1111 * 0,1111 * 0,1111 * 0,1111 = 0,0001523548331041

--> Also eine 0.015% Wahrscheinlichkeit...

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Nun war unsere Frage aber nicht wie Wahrscheinlich ist es 4 Lp in einer Runde zu nehmen, sondern wir wollten wissen wie Wahrscheinlich ist es 2 Lp Verluster zu erreichen.

Im Kern suchen wir also die Wahrscheinlichkeit dass wir mit 2 Attacken treffen und mit 2 Attacken scheitern.
Also: 0.1111 * 0.1111 * (1-0.1111) * (1-0.1111)

Das ist aber leider noch nicht die ganze Wahrheit! Denn in Wirklichkeit gibt es nicht nur 1 Möglichkeit mit 2 Attacken erfolgreich (1) und 2 Attacken unerfolgreich (0) zu sein.

Es gibt die volle Kombinatorik bei 4 möglichen Attacken:
1001
1010
1100
0101
0110
0011

Oder in einer Formel ausgedrückt:

Anzahlwürfel! / (AnzahlErfolgreich! * AnzahlUnerfolgreich!)
4!/(2!*2!) = 4!/4 = 4 * 3 * 2 * 1 / 4 = 3 * 2 = 6

Die Wahrscheinlichkeit mit 4 Attacken genau 2 Lp zunehmen ist in unserem Fall also:

6 * 0.1111 * 0.1111 * (1-0.1111) * (1-0.1111) =
= 6 * 0.1111^2 * 0.8889^2
= 6 * (0,01234321 * 0,79014321)
= 6 * 0,0097529035711041
= 0,0585174214266246

Es gibt also eine Wahrscheinlichkeit von 5.85% dass das Monster in unserem Nahkampf dem Helden exakt 2 Lp raubt!

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Das ist aber immer noch nicht die ganze Wahrheit...
Denn eigentlich interessieren wir uns für die Wahrscheinlichkeit dass das Monster dem Helden mindestens 2 Lp raubt und nicht exakt 2 Lp.

Das heißt wir müssen auch noch die Wahrscheinlichkeit für 3Lp Verluste und für 4Lp einrechnen

4!/(2!*2!) = 4!/4 = 3! = 6
4!/(3!*1!) = 4!/6 = 4
4!/(4!*0!) = 4!/4! = 1

6*(0,1111^2 * (1-0,1111)^2) + 4*(0,1111^3 * (1-0,1111)) + 1*(0,1111^4)
= 6 * (0,01234321 * 0,8889^2) + 4*(0,1111^3 * 0,8889) + 0,0001523548331041
= 6 * (0,01234321 * 0,79014321) + 4*(0,001371330631 * 0,8889) + 0,0001523548331041
= 6 * (0,0097529035711041) + 4*(0,0012189757978959) + 0,0001523548331041
= 0,0585174214266246 + 0,0048759031915836 + 0,0001523548331041
= 0,0635456794513123

Die Wahrscheinlichkeit dass das Monster dem Helden mindestens 2 Lp nimmt ist damit also 6.35%

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Meine Rechenvorschrift ist scheinbar falsch ... denn wenn ich mindestens 1 Lp Verlust beim Helden ausrechne müsste 0.4444 raus kommen, was es aber nicht tut:

(4 * 0.111111111111111^1 * (1-0.111111111111111)^3) + (6 * 0.111111111111111^2 * (1-0.111111111111111)^2) + (4 * 0.111111111111111^3 * (1-0.111111111111111)^1) + (1 * 0.111111111111111^4 * (1-0.111111111111111)^0) = 0.375704923030026

Wahrscheinlichkeit für 1 Lp Verluste beim Helden ist der Rechnung nach 37.57% anstatt der erwarteten 44.44%

Wo aber ist mein Denkfehler?

hmmm...

Ich hab zunehmend den Verdacht dass die übliche Muliplikation mit der Anzahl der Attacken schlicht falsch ist...

Die Wahrscheinlichkeit mit 4 Attacken mindestens 1 Lp Verlust zu erzielen darf nicht mit
4 * 0.11111 = 0.11111 + 0.11111 + 0.11111 + 0.11111 = 0.44444

gerechnet werden sondern als 1 - der Wahrscheinlichkeit keinen Lp verlust zu erzielen:
1 - (1 - 0.111111)^4 = 1 - 0,62429819845121171041 = 0,37570180154878828959

Hab den Denkfehler glaube ich gefunden... Man darf den aufaddierten Erwartungswert einfach nicht mit einer Wahrscheinlichkeit gleichsetzen!

Besonderes klar wird das wenn man in unserem Beispiel dem Monster großzügig 20 Attacken gibt:
Monster attackiert mit 20 Attacken: trifft auf die 3+, wundet auf die 4+, Held rüstet auf die 5+, rettet auf die 4+
EW = 20 * 4/6 * 3/6 * (1-2/6) * (1-3/6) = 2.22222222222222
Wahrscheinlichkeit für 1+ Lp Verluste ist: 0.905169170142942
Wahrscheinlichkeit für 2+ Lp Verluste ist: 0.6680920955003
Wahrscheinlichkeit für 3+ Lp Verluste ist: 0.386563069362162
Wahrscheinlichkeit für 4+ Lp Verluste ist: 0.175416299758559
Wahrscheinlichkeit für 5+ Lp Verluste ist: 0.0632445784066442

Der Erwartungwert von 2.222222 sagt aus das im statisitschen Mittel eben 2.222222 Einheiten sterben bzw. der Held 2.22222 Lp verliert.
Das sagt aber nichts über die Wahrscheinlichkeit für 1 bzw. 2 Lp Verlusten aus

Zitat von madosx

Warum rechnet ihr so umständlich herum? Dies ist doch lediglich eine einfache Binomialverteilung.

Hab ja nicht umsonst nach einer passenden Formel gefragt