Nullstellen bei Ganzrationalen Funktionen

Also wenn du nur die nullstellen wissen willst, solltest du in diesen konkreten fällen jeden Faktor für sich gleich Null setzen und dann nach x auflösen, denn das produkt ist null, wenn mind. Einer der faktoren null ist. Bei der ersten musst du erst noch x ausklammern.
(die haben alle eine nullstelle x1=0 )

Hoffe, das geht in die Richtung Hilfe, die du benötigst.

Gruß

Was ich tun würde, wenn ich im Matheunterricht vor so etwas säße? Eine eigene Formel erfinden und diese dann anwenden.

Dämlicher Post, ich weiß, aber ich bin gerade so froh dass ich sowas nicht mehr rechnen muss^^

Zitat

Ja das geht in die Richtung, eine Schritt für Schritt anleitung wär mir aber lieber:

f(x) = -1/3 x² + 3x

0 = -1/3 x² + 3x

0 = x (-1/3x +3)

Jetzt setze ich x1 = 0

0 = (-1/3x +3)
Ich weiß jetzt, dass x1 = 0 also meine erste Nullstelle.
Stimmt das soweit? Hier komme ich nämlich nicht weiter.

Alles anzeigen

2. Teil mathenachhilfe

Das ist soweit richtig.
Jetzt nimmst du den ganzen Term mal drei ( 0=-x + 9) und addierst auf beiden Seiten x (x=9) und hast damit deine zweite nullstelle. Wenn du die Probe machen willst, setzt du in deiner anfangsgleichung einfach für x die 9 ein und es sollte etwas wie 0=0 rauskommen.
Oder ausführlich: f(9)=-1/3•9^2 + 3•9 =0

ja die erste machst du einfach nach p/q- Formel hats zwar kein q aber egal...

Das mit dem ausklammern geht auch, du musst nur den term noch umstellen

0 = -1/3x +3 /-3
-3 = -1/3x / durch -1/3
x = 9

tadaaa

Edit: zu langsam

Nullstellen sind ein wichtiges Thema in der Analysis, aber auch in der Linearen Algebra. Zunächst solltest du den Unterschied zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit kennen. Die algebraische Vielfachheit besagt, dass ein Polynom n-ten Grades maximal n Nullstellen aufweisen kann. Die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der Nullstellen des Polynoms. Demnach kann die geometrische Vielfachheit maximal so groß sein wie die Algebraische.

Zum Verfahren musst du dir erstmal merken, dass f(x) = 0 sein muss, denn der Funktionswert des Graphen f soll ja an der Stelle x - die du ausfindig machen sollst - 0 sein. Behilflich dabei ist der "Merksatz": "Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist."

Demnach ist es sofern es möglich ist immer ratsam x oder mehrere x auszuklammern. Wie beispielsweise in deinem 3. Beispiel. Daraus ist sofort ersichtlich, dass eine der maximal 4 Nullstellen gleich 0 sein muss. Dann betrachtest du dort nurnoch den Inhalt der Klammer, also x³-8. Dieser Term soll ja wiederum 0 ergeben, also ergibt sich die Gleichung: x³-8 = 0 => x³= 8. Daraus die 3. Wurzel ziehen und du hast deine restlichen Nullstellen.

Bei deinem ersten Term können wir das gleiche Schema anweden: f(x) = -1/3x²+3x = 0 => 0 = x ( -1/3x + 3 ) => x_01 = 0
2. Nullstelle: -1/3x +3 = 0 => 1/3x = 3 => x_02 = 9

Bei deiner Gleichung in der Mitte lässt sich ebenfalls dieses Schema anwenden. Da immernoch gilt: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist muss diese Funktion eine doppelte Nullstelle bei f( 0 ) haben. Dann betrachten wir wieder den übrig gebliebenen Term x² - 9 = 0
=> x² = 9 => x_03 = 3, x_04 = -3

Verfahren die dir beim Berechnen von Nullstellen helfen können sind bspw. die PQ-Formel, Substitution, Polynomdivision, das Horner-Schema und einige mehr.

Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen, Fragen immer zu

MfG

Zweite Funktion

0 = 3x² ( x² -9)
0 = 3x[hoch 4 ^^] -27x²
0 = x² (3x²-27) x = 0
0 = 3x² -27 /+27
27 = 3x² / durch 3
9 = x² / wurzel ziehen
x =3 x =-3

Habs probiert stimmt

Einfach versuchen nach x umzustellen

Setze y=0 bzw. je nachdem ob du aufm gymi bist oder nicht f(x)=0
....

es gibt auch ncoh die Methode das ganze direkt raus zu lesen, dafür musst du die funktion erstmal zusammenfassen. Mhm aber bei mir ist das letzte mal mathe auch schon 2 Jahre her XD

Nullstelle heißt doch y=0...

also sezt du die Gleichungen einfach gleich 0 und formst um bzw es gibt für die Gleichungen 2. Grades die Lösungsformel, wo du nur die Werte einsetzen brauchst.

Für die Lösungsformel musst du die Gleichung erst so umformen, dass die Gleichung folgender entspricht:
y = x² + px + q
wobei p und q Parameter sind.
Dann setzt du p und q in folgende Formel ein:
x(1/2) = -p/2 +- wurzel( (p/2)² - q) "Anmerkung: (1/2) beim x ist eigentlich runtergestellt und zeigt, dass 2 x- Werte rauskommen müssten; +- heißt, dass du das, was bei der wurzel rauskommt, einmal addieren und einmal subtrahieren musst um auf beide Ergebnisse zu kommen"
und erhälst 2 Werte für x, das sind die beiden Nullstellen

Zitat

y = -1/3 x² + 3x

0 = -1/3 x² + 3x
0 = x² - 9x + 0 --> p = -9 q = 0

Lösungsformel:

x(1/2) = - (-9/2) +- wurzel( (-9/2)² - 0)
x(1) = 9/2 + 9/2 = 9

x(2) = 9/2 - 9/2 = 0

Alles anzeigen

Somit hast du die Nullstellen bei x = 9 und x = 0 (hoffe es ist nachvollziehbar )

Die 2. Kann man ganz einfach mit umformen lösen:
Die erste Nullstelle kann man schon ablesen: für x(1) = 0 ist die Gleichung auch korrekt, ferner:

Zitat

y = 3x²(x²-9) = 3x^4 - 27x²

0 = 3x^4 - 27x²
3x^4 = 27x² |/3
x^4 = 9x² |/x²
x² = 9
x(2) = 3
x(3) = -3

Alles anzeigen

Man hat hier also 3 Nullstellen vorliegen bei x(1) = 0, x(2) = 3 und x(3) = -3

Die dritte:
Sieht auf den ersten Blick vielleicht schwierig aus, ist es aber nicht. Man kann das selbe Schema nutzen bei der 2.:
Eigentlich lassen sich beide Nullstellen ablesen. x(1) = 0 ist klar, die zewite sieht man vielleicht nicht sofort, aber die dritte Kubikwurzel (dritte Wurzel) aus 8 ist 2, wo dann wieder gelten würde: x(8-8 ) = 0
Ausführlicher:

Zitat

y = x(x³- 8 ) = x^4 - 8x

0 = x^4 - 8x
8x = x^4 |/x
8 = x³
x(2) = 2

Hoffe ich konnte helfen, hab alles nochmal mit meinem TR überprüft

Ich nehme an, dass dein GTR für die großen programmierbaren TRs steht. Ich geb dir nen Tipp: lern solche Sachen sowie ableiten und Integrieren ohne die, damit kommst du im Studium weiter, als wenn du das nur mit den TRs lernst (muss ich gerade am eigenen Leib spüren ._. )

Ausklammern ist halt wichtig, das geht immer dann gut, wenn der Summanden noch ein x besitzt.

denn bei

f(x) = x(x³- 8 ) kann man die Nullstellen sehr leicht ablesen, entweder 0 oder x³-8 =0 also x=dritte Wurzel aus 8 oder 8 hoch 1/3, zur Probe dnan einfahc für die positive wie auch die negative Zahl machen, (wobei bei X^3 natürlcih keine Negative Zahl eine 8 ergeben kann.)

f(x) = -1/3 x² + 3x
müsstets du also genauso agehen, x ausklammern mit einem der faktoren

es komtm jetztd arauf an, was einem leichter fällt auszuklammern, dafür bekomtm man mit genug übung ein gefühl,

dann hats du beispielsweise

f(x) = (-1/3x +3)x oder

f(x) = (-1/9x+1)3x oder

f(x)=-1/3x(x+9) wobei ich dieses prefieiere, da man dies einfacher ausrechnen kann, da man beim ausklammern eines Bruches nur Multiplizieren muss, und anschließend die NST leichter abzulesen sind.

f(x) = 3x² (x² - 9)
ist dann genauso ein kandidat, wenn 3x²= 0 gilt dies auch für die gesamte formel, genau wie x²-9=0
ich denke mal die NSt einer quadratischen Funktion kannst du ausrechnen, das hier geht ja sogar im Kopf,
(lösung wäre 0, +3 und -3

Gabs nicht auch ne vereinfachte allgemeine Lösungsformel für die Polyonme 3. Grades? Mein tafelwerk ist schon seit langen verschollen, udn das Netz gibt gerade nichts vereinfahctes raus.
Ich hoffe, daß ich mich jetzt nciht verrechnet oder blödsinn erzählt habe,

Ich denke ja mal substituieren und Polynomdivision macht ihr noch nicht, oder?

Zitat

Man hat hier also 3 Nullstellen vorliegen bei x(1) = 0, x(2) = 3 und x(3) = -3

So nicht ganz richtig, die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Algebraische und geometrische Vielfachheit stimmen auch bei dieser Funktion überein.

Zudem sollte man sich "y=..." garnicht erst angewöhnen, sondern gleich f(x) schreiben. Je nachdem wie weit man geht kann das sonst nämlich sehr verwirrend werden

Für die Oberstufe sollte man sich auch die Eigenschaften aus Linearer Algebra und Numerik zu Nutzen machen. Da man als Körper in der Regel die Reellen Zahlen zum rechnen verwendet kann man bei negativer Diskriminante das rechnen gleich einstellen, da man soweit ich weiß die Lösungsmenge nicht auf die Komplexen Zahlen erweitern muss.

MfG

Zitat von Vodry

So nicht ganz richtig, die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei 0

Mach es nicht noch komplizierter als es ist
Bei uns in der Schule hieß es auch nur, dass da eine Nullstelle ist, nichts mit doppelt oder was auch immer...

Und... "y=" ist nicht falsch... aber ja, spätestens wenn es dann 2 oder mehr Variablen werden, die relevant sind oder das Koordinatensystem sich mal schnell ins R³ ausweitet KANN es verwirrend werden... wenn man nicht auf die Variablenbezeichnung achtet
War hier aber nicht der Fall, also...

Zitat von Vodry

So nicht ganz richtig, die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Algebraische und geometrische Vielfachheit stimmen auch bei dieser Funktion überein.

Zudem sollte man sich "y=..." garnicht erst angewöhnen, sondern gleich f(x) schreiben. Je nachdem wie weit man geht kann das sonst nämlich sehr verwirrend werden

Für die Oberstufe sollte man sich auch die Eigenschaften aus Linearer Algebra und Numerik zu Nutzen machen. Da man als Körper in der Regel die Reellen Zahlen zum rechnen verwendet kann man bei negativer Diskriminante das rechnen gleich einstellen, da man soweit ich weiß die Lösungsmenge nicht auf die Komplexen Zahlen erweitern muss.

MfG

Alles anzeigen

Wem sagst du das? Auf der Realschule haben wir das 5 Jahre lang mit y=.... gemacht auf dem Gymi ging es dann mit f(x)=.... los das war nciht nru leicht verwirrend oO (ist es sogar immernoch)

Deshalb ja mein Tipp Im Studium wird es da noch lustiger

Edit:

@ wolfh

Wenn man dann aber mit einer Kurvendiskussion beginnt und man sieht die doppelte Nullstelle nur als einfache an diskutiert man schnell mal einen ganz anderen Graphen, deshalb sollte man das schon genau nehmen. Und "y=..." ist nicht falsch, habe ich auch nicht behauptet, besser ist aber, man gewöhnt sich so früh und schnell wie möglich an die andere Schreibweise.

MfG

Hab die bisherigen Antworten bisher nur kurz überflogen, geb aber einfach mal meinen Senf dazu:

Zitat von Mordred

Hallo Leute
Wir schreiben morgen eine Kurzarbeit, aber weil ich in der letzten unterrichtseinheit gefehlt habe, stehe ich leider völlig auf dem Schlauch und benötige eure Hilfe. Wir dürfen den GTR leider nicht benutzen
Ich habe hier ein paar Übungsaufgaben zu Funktionen des III und IV Grades:

f(x) = -1/3 x² + 3x

f(x) = 3x² (x² - 9)

f(x) = x(x³- 8 )

Ich bitte euch um eine kurze Erklärung was ihr tut.

Alles anzeigen

Es ist hilfreich, die Mitternachtsformel zu können bzw. diese in einer Formelsammlung zu haben, falls sie erlaubt ist. Damit hast du den allgemeinen Weg für quadratische Funktionen, um auf die Nullstellen zu kommen.
Am Beispiel 1 (oder allgemein halt, wenn es keine Konsante gibt), kannst du x ausklammern und bekommst dann: f(x)= x(-1/3 x +3) und bekommst deine zwei Lösungen, indem du jeden der Faktoren einmal auf 0 setzt. Also wäre x_1=0 und x_2=9

Beispiele 2 und 3 sind jeweils vom 4ten Grad und haben jeweils bei 0 eine Nullstelle, aber bei Beispiel 2 ist es eine doppelte Nullstelle, da das x im Quadrat steht. Die anderen Nullstellen bekommst du, dann einfach indem du wiederum die anderen Faktoren isoliert angehst. Bei Beispiel 2 kannst du x^2 - 9 wieder als quadratische Gleichung lösen und solltest x=+/- 3 als dritte und vierte Nullstelle erhalten.

Um auf die restlichen Nullstellen beim dritten Beispielen zu kommen, gehst du auch wieder x^3 -8 = 0 an. Da es sich um einen höheren Grad als 2 handelt, kann sich das je nachdem als schwieriger erweisen. Bei Prüfungsaufgaben ist es meistens so, dass eine der Nullstellen relativ einfach zu finden ist, in diesem Fall ist es ziemlich klar, dass die dritte Wurzel von 8 (also 2) eine Nullstelle ist. Zu diesem Zeitpunkt fehlen aber noch zwei Nullstellen, die du mit Polynomdivision erhältst, da du eine der Nullstellen gefunden hast. Wenn du diese richtig gemacht hast, solltest du darauf kommen, dass x^2 + 2x + 4 = 0 die beiden anderen Lösungen enthält. Falls du nun die Mitternachtsformel anwendest, wirst du merken, dass die Diskriminante < 0 ist und somit im Reellen keine Lösung hat. (dafür 2 komplexe Lösungen, aber ich nehme an, die werden nicht verlangt)

Hoffe, ich konnte helfen.

Zitat von Vodry

Wenn man dann aber mit einer Kurvendiskussion beginnt und man sieht die doppelte Nullstelle nur als einfache an diskutiert man schnell mal einen ganz anderen Graphen,

Wie gesagt, ich hatte Mathe- Leistungskurs und bei uns gab es nie eine Diskussion über doppelte Nullstellen...
Hieß dann immer nur "Der Graf hat bei 0, -3 und 3 eine Nullstelle."
Aber gut, solche Wissenslücken füllen zu können^^

Eine doppelte Nullstelle ist gleichzeitig auch ein Extremum, deshalb erleichtert es die weitere Kurvendiskussion. Bei uns im Mathegrundkurs wurde da unterschieden und jetzt im Physikstudium ist es noch wichtiger. Deshalb bin ich der Meinung man sollte auf sowas von Anfang an achten, dann hat man es später leichter. Vorallem wenn es dann in die Eigenwerttheorie geht muss man da ganz gehörig aufpassen.

Soll aber jetzt hier nicht zum Thema werden.

MfG

doppelte nullstelle hat aber nicht unbedingt was damit zu tun, da ja nur nach den f(x)=0 werten gefragt wurde und nicht den extrema. also verwirr die hier nicht so